Hundratals personer hade samlats utanför en myndighetsbyggnad för att få mat av en qatarisk hjälporganisation när tumult uppstod.
Det är ännu inte klart vad som utlöste trängseln och oron, men myndigheter vittnar om att beväpnade män i folkmassan ska ha gått till attack.
– Demonstranterna öppnade eld mot polisen. Fyra civila, inklusive en anställd på lokalradion, samt två poliser dödades, säger en talesperson för de lokala myndigheterna.
Inrikesdepartementet i Kabul bekräftar antalet döda, och Afghanistans vicepresident Amrullah Saleh kallar attacken "chockerande".
Ytterligare 19 personer uppges ha skadats i händelsen, som nu ska utredas av polisen.